INTRODUCCION A LA  GEOMETRIA

Parte 1

En una clase el docente pregunta a los estudiantes, ¿Qué saben de la geometría? La mejor respuesta fue Mejor nos indica desde cero y así no perdemos tiempo.

En la vida diaria nos encontramos con figuras conocidas como cuadrado, circulo o triangulo, pero no solo figuras sino también cuerpos, como cubos y esferas. Todas estas formas las vemos en todo objeto que se utiliza, desde  calculadoras, televisores hasta en nuestra vestimenta. Si hasta ahora no la conocíamos es la GEOMETRIA la que nos ayuda para comprender las relaciones de las formas y figuras.

Definición: La geometría es una parte de las matemáticas que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de una figura en un plano o en el espacio, para representar distintos aspectos de la realidad

La geometría parte de axiomas (las proposiciones que se encargan de relacionar los conceptos); estos axiomas dan lugar a teorías que, mediante instrumentos de esta disciplina como el transportador o el compás, pueden comprobarse o refutarse.

La forma de pensar utilizado en la ciencia y particularmente en geometría, se conoce como método deductivo. El método consiste en, valiéndonos de la lógica, deducir nuevos conocimientos a partir de conocimientos anteriores que se consideran verdaderos. Como es natural, deben existir alguno o algunos principios generales básicos (axiomas, postulados) desde donde comenzar la construcción de una nueva ciencia. La geometría es un sistema axiomático o deductivo en el que cada teorema se deduce de otro, previamente demostrado


1. Subdivisión de la geometría
Como primera división de la geometría podemos indicar:

• Cuando estudia figuras contenidas en un plano, o sea en dos dimensiones se denomina Geometría Plana
• Cuando estudia cuerpos se refiere  a tres dimensiones y se denomina Geometría del espacio
• La Geometría proyectiva se encarga de las proyecciones de las figuras sobre un plano

Sin embargo a  lo largo del tiempo la geometría a desarrollado ciertas corrientes de estudio como son:

• La geometría descriptiva, por su parte, se dedica a solucionar los problemas del espacio mediante operaciones que se desarrollan en un plano donde están representadas las figuras de los sólidos.
• La geometría analítica se encarga de estudiar las figuras a partir de un sistema de coordenadas y de las metodologías propias del análisis matemático.
• La geometría algorítmica, que usa el álgebra y sus cálculos para resolver problemas vinculados a la extensión.

2. Terminología de la geometría
Con el fin de entender de mejor manera el lenguaje técnico de la geometría se debe conocer el significado de sus términos mas usados, entre ellos se tiene:

Proposición
Son enunciados de hechos como una ley, o un principio, o una cuestión por resolver

Una proposición es un enunciado del que se puede decir si es verdadero o falso, pero no ambas cosas a la vez

Ejemplos

• Un cuadrado tiene 4 lados.
• Todos los carros tiene 2 ruedas.
• 2 + 2 = 22..

Axioma
Proposición evidente que se acepta como verdadera sin necesidad de una demostración. "Los axiomas son las leyes más generales de la cantidad y del espacio" (G. Fingermann).

Es un proposición tan sencilla y evidente que se admite sin demostración (Baldor)

Ejemplos:

• El todo es igual a la suma de sus partes y mayor que cualquiera de sus partes.
• Toda cantidad puede sustituirse por su equivalente en cualquier expresión o ecuación. (Axioma de sustitución)
• si  a = b  y  b = c  entonces  a = c.  (Propiedad transitiva)

Postulado
Es una proposición no tan evidente como un axioma pero que también se admite sin demostración. (Baldor)

Es una proposición, cuya verdad aunque no tenga la evidencia de un axioma, no necesita demostración.

Ejemplos

• Toda figura puede hacerse cambiar de posición sin alterar su forma ni sus dimensiones.
• Por dos puntos dados cualesquiera puede hacerse pasar una recta y sólo una.
• El camino más corto entre dos puntos es la recta que los une.

Teorema
Proposición cuya verdad necesita demostración.

Es una proposición que es demostrable o refutable aplicando la lógica formal a partir de axiomas o postulados. Un teorema también se puede demostrar apoyándose en teoremas previos. En todo teorema se distinguen tres partes: Hipótesis: supuestos o datos conocidos -- Tesis: lo que se quiere demostrar -- Demostración: procedimiento lógico en el que se utilizan los conocimientos previos para mostrar la verdad de un teorema.

Ejemplos

• Si un segmento es dado, entonces este tiene exactamente un punto medio.
• Si dos ángulos son congruentes y suplementarios, entonces cada ángulo es un ángulo recto.
• Si un triángulo es equiangular, entonces el triángulo es equilátero.

Corolario
Es una proposición que se deduce de un teorema como consecuencia del mismo.(Baldor)

Es una proposición que es consecuencia inmediata de otra y cuya demostración requiere de poco o ningún razonamiento nuevo. Generalmente es consecuencia de un teorema.

Ejemplo

• Dos puntos determinan una recta.
• Todos los ángulos rectos son iguales.
• En un punto cualquiera de una recta puede levantarse un perpendicular a esa recta y sólo una.

Problema
Es una proposición que plantea una cuestión por resolver

Un problema es una proposición en la que se pide construir una figura que reúne ciertas condiciones (problema gráfico) o bien calcular el valor de una magnitud geométrica (problema numérico)

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